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もしもし、わたしプディンちゃん

【数学III】大学受験の複素数平面についてはじめから解説する【大学入試】

こんにちは、からさわです。

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”複素数平面”について扱っていきます


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ということで、今日は複素数平面について扱っていきます。

おもに大学受験での範囲の解説ですし、僕は本格的に数学を勉強したことがないのであまり根本的な定義について突っ込まれても僕としては返答のしようがありませんのでそこはあしからず。

複素数平面について勉強する前に知っておかなければならない数のことについて



そもそも、複素数って何やねん!?って話になってくると思います。

簡単に言ってしまえば、

 複素数 = 実数 + 虚数



ということです。簡単ですよね。

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でも!


ここがポイントなんですが、そもそもみんな、実数と虚数をちゃんと理解しているの!?ってことですよ。

ていうか、他にも数って色々呼び方あるんだが!?

ちゃんと理解してんのか!?


色々な数



はい。ってなわけで、ちゃんと根本に立ち戻って復習をしておきましょう。


数には色々あります。しかし、その中でも理系学部を受験する高校生(もしくは浪人生)が知っておかなければならないのは

* 自然数 

  • 整数

  • 有理数

  • 無理数

  • 実数

  • 虚数

  • 複素数


でしょう。これらをちゃんと理解しておけば大丈夫なはずです。

自然数



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まずは自然数です。


これは問題ないですね。


正の整数のことです。ゼロは含みません。

整数

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そして、自然数にマイナスの値が加わると、整数になります。

ここまでは問題ないでしょう。

有理数



しかし、この有理数になってくると、正しく理解できていない人が増えてきます。


どんな間違い方をしているかというと、

有理数は分数にできるもの!


っていう間違い。



それ、違ぇからな!?(´◉◞౪◟◉)


まぁ、ちょっと例を出せばわかると思う。


 \frac{1}{π}


どうこれ!?


有理数じゃないでしょ!?



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有理数ってのはね、正しくは


 \frac{整数}{自然数}


の形に表せるものなんだよ。

無理数


そして無理数。

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これはシンプル。実数のうちで、有理数ではないものだ。


つまり、けっきょく数を理解するためには有理数をきちんと押さえておかないといけない、というのがわかると思う。

実数


その次は、実数。


有理数と無理数の話で、”実数のうちでも〜”という言葉が出てくるから


実数って、なに〜????


ってなると思うんだけど、実数っていうのは2乗して0になるもの。簡単でしょ!?



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虚数


そして虚数。


実数とは対になるものだから、二乗したら0よりも小さくなる数……と言いたいところなんだけど、少し違う。


なぜなら、この虚数の中には大小を持たない、つまり数直線の上にないものもあるからね。


だから、正確には

  • 二乗して0以上ではない数


というのが正しい。

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複素数


そして最後は複素数だ。


これは


 "実数" + "虚数"


の形で表される数のこと。



例えば、


 2 + 3i


のような数のこと。



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複素数の性質に関する証明問題


さて、ここまでは前座。


ここからは、複素数の性質に着目した証明問題をまずは演習することにする。



問1


ということで、まずは一問め。


まずは手を止めて解いてみてほしい。



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虚数単位 i っていうのは、

 \sqrt{-1}


のこと。


つまり、

 i^2 = -1


ということ。



例を示そう。


 (i + 1)(i + 2)


 = i^2 + 3i + 2


 = -1 + 3i + 2


 = 3i + 1




ということ。そんなに難しくはないだろ!?



じゃあ、早速証明に入ろう。



<証明>


 a + bi = 0

 より、

 bi = -a

これを二乗して、 b2 = a2
ゆえに -b2 = a2


ここで、aとbは実数なので 

 a^2 \geq 0    \land    b^2 \geq 0


  なので 

 -b^2 \leq 0


よって、

 -b^2 = 0     \land    a^2 = 0


ゆえに 

 a = b = 0



ここでポイント、というか注意なんだけど、この性質はaとbが実数のときにしか成り立たない。



具体例を示すことにしよう。


 a + bi = 0

 


という数式があったとして、


 a = 5


だったとしよう。


つまり、


 5 + bi = 0


という式だったとする。


もしさ、この方程式のbの値が


 b = 5i


だったらどうなる!?


 5 + 5i \times i = 5 - 5 = 0


という感じになって、aとbが0でなくても、複素数の値が0になっちゃうでしょ!?


だから、複素数の値が0だったとしても、aとbが0だと決めつけるのはちょっと早い!!


ってこと。


つまり、言ってしまえば


 a+bi = 0   \land   aとbが実数   \to   a = b = 0


ということなんだね。



二問目


ということで、二問目の証明問題をやっていくことにしよう。


これは大切な考え方を使う問題なんだけど、割と解きやすいものだと思う。



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証明


 a + bi = c + di

 

より 

 a - c + bi - di


ゆえに、

 (a - c) + (b - d)i = 0

ここで、a,b,c,dは実数より

a - c と b - d は実数なので

a - c = 0 かつ b - d = 0

ゆえに a = c かつ b = d

二次方程式の問題


さて、お次は二次方程式の問題だ。

問題



二次方程式

 z^2 = 3 + 4i

 



を解け。




ここでよくありがちな間違いなのが、二乗なのだからルートを外してプラスマイナスつければいいんじゃね!?ってやつ


つまり今回の場合で言うと、

 z = \pm \sqrt{3 + 4i}



おしまいっ(ドヤッ)


それ、ちげぇからな!?(´◉◞౪◟◉)


どうしてかって言うと、複素数の

 \sqrt{a + bi}

って、まだ計算途中なんだよね。

 \sqrt{4}



ってバツだったじゃん!?


2にしないとダメだったじゃん!?


それと一緒なんだ。


だから、最後まで計算しないといけないってこと。


つまり、大切なのは


 \sqrt{a + bi}


は、必ず p + qi と表されるいうこと


解答


z = p + qi (p と q は実数)とおく。


このとき、

 z^2 = (p + qi)^2


 z^2 = p^2 + 2pqi + q^2 i^2


 z^2 = p^2 + 2pqi - q^2


 z^2 = p^2 - q^2 + 2pqi



となるので、ここで、pとqは実数より、


 p^2 - q^2 と 2pq


は実数なので、


 p^2 - q^2 = 3 ... (2)  かつ 2pq = 4 ... (2)


(2)より、


 pq = 2 (\not 0)


ゆえに


 q = \frac{2}{p}


これを(1)へ代入すると、

 p^2 - \frac{4}{p^2} = 3


 p^4 - 4 = 3p^2


 p^4 - 3p^2 - 4 = 0


 (p^2 - 4)(p^2 + 1) = 0


 p^2 = 4 , -1


pは実数より、

 p^2 \geq 0


だから−1は不適。よって

 p = \pm 2


p = 2 のとき、 q = 1

 z = p + qi = 2 + i


p = -2 のとき、

 q = \frac{2}{-2} = -1


 z = -2 + (-1)i


 z = -2 - i


よって

 z = \pm (2 + i)


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